통계학 7주차 월요일

8주차 월요일 저녁 7시 오석 405호에서 중간고사 시험

 

모집단 분포

sampling distribution은 표본 분포를 의미한다.

모집단 분포는 우리가 알고 있다. 5명에 대해서 모집단으로 하자고 설정을 한 것. 

 

모집단의 특성을 나타내는 것을 모수라고 한다. 모집단에 관심있는, 모집단의 특성을 의미한다.

랜덤 Sample, Random에 대한 정의?? 사전에 모르는 것을 Randomness라고 한다. 표본을 어떻게 뽑을지 모르는 것을 Randomness라고 하는 것이다. 모집단 전체를 조사하는 것에 시간과 경비가 너무 많이 든다. 표본조사 값도 모수와 정말 비슷하게 나온다. 모수와 큰 차이가 없다는 것도 중요한 특징 중의 하나이다. 

인원 수가 더 많은 대통령 선거가 국회의원 선거보다 예측하기 쉬운 이유는 "오차"에 달려있다. 오차 상쇄

 

추정량은 통계량 가운데에서 모수를 추정할 수 있는 것을 의미한다 모집단의 특성을 알아내는 것을 추정량이라고 한다. 통계량의 경우 랜덤 표본으로 부터 계산되는 것이고 추정량은 추정할 수 있는 의미를 가지고 있다. 통계량은 랜덤이다. Estimator도 랜덤이다. 즉 이말은 분포를 가지고 있다고 하고 그 분포를 Sampling Distribution이라고 한다. 

 

 

두 번째 던진 경우의 분포

 

30개씩 50개를 그려본 경우.

X바의 기댓값은 뮤이고 X바의 정규분포의 평균은 0이고 표준 편자는 1/30에 해당한다. 

평균인 0에 대칭이 되어야 하는데 이 분포는 대칭이 아니다. Precision과 Bias를 배웠었다. 넓게 퍼질 수록 정도가 더 작은 것이다. 넓이가 넓을 수록 정도가 더 작고 좋은 분포이다.

 

 

비표본오차는 Census에서 일어날 수 있는 오차를 의미한다. 전수 조사에서 일어나는 오차를 말한다. 

측정값은 참값과 오차를 가지고 있다. 그렇다면 추정량의 기댓값에는 참값과 편의가 들어있다. Expertation을 다른 말로 Long run Average라고 표현한다. 우리가 원하는 뮤의 값에 가까워지기 때문이다.

 

잘못 표기한 경우 발생하는 오차를 비표본오차라고 한다. 오차는 표본 오차와 비표본 오차의 합을 의미한다.

반복 측정하면 표본 오차가 없어진다.

 

 

표준오차

X가 뮤와 시그마 ^2의 분포를 가진다고 하자. X바는 통계량인 동시에 추정량인데 이것의 기댓값인 E(X바)는 불편추정량이라고 한다. 오차가 없는 Unbiased이기 때문이다. V(X바)의 경우 시그마^2/N이라고 표현한다. 표준편차에 해당한다. X바의 Standard Deviation은 표준편차이다. 분포에 있어서 표준편차는 얼마나 흩어져있는지를 나타내는 척도이다. X바의 측정을 나타낼 수 잇는 척도이다. (*********)

 

일반적인 경우 유한 모집단의 표준 편차는 표본 표준 편차에 어떤 값을 곱하게 되는데 finite 값을 곱하게 된다. 보정이라고 보면 된다. 

표본 평균의 표본 분표에서 X바의 평균은 뮤에 해당한다. X바의 분산은 시그마^2/n에 해당한다. 원래 표준편차인 시그마에 비해 루트n 만큼 느리게 오차가 줄어들고 있다는 것이다. 

 

X바 - 루트 n 분의 1 이라고 했을 때 이는 불편 추정량이 아니다. E(x바 - 루트 n분의 1)은 Bias가 존재하므로 불편 추정량이 아니다. Bias가 - 루트 n분의 1 만큼 존재하기 때문이다. 이때 N을 충분히 키웠을 때 Unbias가 된다. 그런 것을 일치 추정량이라고 한다. 개념만 알아두라고 말씀하심.

 

 

 

 

X 모집단이 정규분포를 따른다. 분산이 N의 크기가 클수록 분산이 작아지고 d처럼 분산이 작아지는 모습을 볼 수 있다. 

 

 

정규분포가 아닌 경우 

X바의 경우 분포에 관계없이 평균은 뮤, 분산은 시그마^2/N이 된다. Xi의 분포는 모르지만 X바의 분포는 알고 있다. Limit Theorem은 N이 무한대로 갈 때의 경우를 말한다. n이 large enough 30 이면 충분하다고 표현한다.