Homogeneous Coordinate를 사용하는 이유

Homogeneous Coordinate를 적용하는 분야는 Computer Graphics와 3D Vision과 같이 다차원 물체의 표현이 이루어지고 복잡한 연산을 통해 많은 정보량을 다루는 곳입니다.

흔히 말하는 Geometric Transformation는 다음 3가지를 말합니다.

1. Changing the position of points

2. Translation, scaling, Rotation

3. Animating object and camera

 

이 중에서 저희는 2번에 해당하는 Matrix Transformation과 관련된 총괄적인 개념을 공부하고자 합니다.

첫 번째로 Translation (평행 이동) 입니다.

2차원 평면 상에서 x, y 좌표에 dx, dy 만큼 더하여 이동이 이루어지게 됩니다. 

아래의 그림을 참고하면 이해할 수 있습니다.

 

 

 

두 번째로 Scaling 입니다.

평행이동과 달리 곱셈을 통해 Scale 변화가 이루어지게 되며, Sx, Sy에 해당하는

상수 값 만큼 곱하여 물체의 크기를 일정하게 조절하는 방법입니다.

아래 그림에서 말하는 Uniform 이란 Sx와 Sy의 값이 같아서 다른 축에 대하여

동일한 값 만큼 줄어드는 경우를 의미합니다.

 

세 번째로 Rotation 입니다.

이 경우 파라미터는 각도에 해당하는 값으로 cosin과 sine 을 이용하여 좌표계를 표현하게 됩니다.

시계 반대방향으로 θ 만큼 회전한 경우 x의 좌표는 cos θ, y의 좌표는 sin θ로 변하게 됩니다. 

이때 기존의 좌표를 (1,0) 이라고 하면 (cos θ, sin θ)가 되고 (0,1)의 경우 (-sin θ, cos θ) 이므로

2D의 경우 ((cos θ, sin θ) (-sin θ, cos θ)) 행렬로 표현이 됩니다.

 

 

2D Matrix의 경우

Cartesian matrix로 Translation는 덧셈, Scaling, Rotation은 곱셈을 통해 이루어지게 된다.

이때의 관점은 Object의 Position에 해당하는 정보로

여러 종류의 Translation이 이루어질 때 아래의 그림처럼 표현할 수 있을 것이다.

 

하지만 큰 단점이 존재한다.

Transformation(덧셈) 과 rotation(곱셈)이 동시에 이루어져야 하는 경우

Matrix Multiplication의 효과를 보지 못하고 여전히 덧셈으로 처리해야 하는 영역이 생겨서

연산량 개선이 이루어지지 않는다는 것입니다.

 

 

그렇다면 어떻게 해야 연산량을 줄일 수 있을까요?

해답은 Homogeneous Coordinate으로 변경하는 것입니다.

이는 Dimension Expansion으로 차원의 영역을 넓혀서 Catesian으로 표시했을 때는 

Object를 Position의 관점을 보았지만 Homogeneous의 경우 Direction 관점으로 해석될 수 있습니다.

이렇게 하면 덧셈 연산을 수행했던 Translation의 경우 Matrix Multiplication으로 표현될 수 있습니다.

 

W = 0인 경우 좌표계가 무한대로 발산하는 것을 확인할 수 있습니다.

이 경우 Translation이 적용되지 않는다. 아래의 그림에서는 기존 좌표 Vector가 (x,y,1)로 되어있는데

(x,y,0)으로 설정하게 되는 경우 dx와 dy에 해당하는 Transformation Scale이 0으로 곱해져서 

아무 변화가 일어나지 않게 됩니다. 

즉, Homogeneous Coordinate를 사용하게 될 경우 모든 Transformation을

하나의 Matirx Multiplication으로 표현할 수 있게 된다는 이론을 이해할 수 있을 것입니다.

 

 

 

Scaling 과 Rotation의 경우 Transformation Matrix 마지막에 (0,0,1)이 들어간 것을 확인할 수 있습니다.

모든 원초적인 Transformation이 3x3 행렬로 표현될 수 있음을 알 수 있습니다.