Primitive Transformation 성질 분석하기

위의 글을 통해 Cartesian Coordinate 대신
Homogeneous Coordinate를 사용하는 이유에 대해서 살펴보았습니다.

표현하고자 하는 Transformation의 경우 Primitive Transformation (Translation, Rotation, Scaling)
으로 표현할 수 있습니다. 예를 들어 임의의 지점 P1에 대하여 Rotation을 적용하는 경우
이를 어떻게 하면 간소화할 수 있을까요?

해당 지점은 원점으로 Translation을 한 뒤 회전하고자 하는 각도 θ 만큼 회전시키고
다시 원래의 지점으로 Translation을 한다면 기존의 Primitive한 성질을 모두 만족시킬 수 있을 것입니다.

 

 

그렇다면 기본적인 축 (x-axis, y-axis)이 회전되어 있는 경우 Scaling이 이루어지는 경우

어떻게 해야 할까요?

Original 축으로부터 회전한 각도 θ를 반대로 회전시켜 원점으로 복구 시킨 뒤 Scaling을 진행해야 합니다.

아래의 그림에서 확인할 수 있습니다.

 

 

 

다음으로 알아볼 것은 Shear Transformation입니다.

아래의 사진처럼 원래의 이미지가 각 축에 대하여 기울어져 표현되는 변환을 의미합니다.

그렇다면 Shear Transformation은 Primitive Transformation을 Concatenation으로 표현할 수 있을까요?

이 증명은 여러분께 맡겨드리겠습니다.

 

 

 

Composition of Primitive Transformation을 살펴보겠습니다.

Original house 물체를 P1에서 P2라는 지점으로 옮기고자 합니다. 

Primitive Transformation으로 어떻게 표현하는지 봅시다.

Original house를 원점으로 Transform 하고 Scaling을 합니다. 그리고 원하는 회전 각도만큼

회전 시킨 후 P2 위치로 Transformation 합니다.

 

여기서 중요한 것은 3x3 Matrix에서 각 스케일 상수 값이 어떤 변환을 대표하는지 

직관적으로 느끼는 것입니다.

Diagonal (r11, r22)  : Scaling Value

Counter Diagonal (r12, r21) : Shearing Value

3 Column value : Translation Value

3 Row value : Homogeneous Coordinate Value

 

Rigid-body Transformation이란 Shape이 변하지 않는 것을 의미합니다.

그렇다면 Transformation Matrix만 보고 Rigid-Body인지 확인하는 방법이 있을까요?

방법은 (r11,r12)와 (r21,r22) 행렬이 Orthonomal Vector인지 확인하는 것입니다.

간단하게 내적값이 0인지 아닌지 확인하면 될 것 같습니다.

 

Affine Transformation이란 평행이 보존되는 변환을 의미합니다.

이를 증명하는 것도 여러분께 맡겨드립니다.

 

 

그렇다면 이러한 변환을 통해서 움직이는 Object를 어떻게 표현해야 할까요?

일일이 하나씩 다 표현해야 하는 걸까요?

Vertex Coordinate Update 접근 방식에 의하면, 매 Frame마다 World Coordinate 좌표의 움직임을

사용자가 일일이 반영해줘야 한다는 것입니다.

 

 

물론 Homogeneous Coordinate 방식을 채택함에 따라 연산량이 줄어든 것은 사실입니다.

하지만 여러 단점이 존재합니다.

첫 번째로 매 움직임을 계속해서 Frame에 찍어줘야 한다는 것이지요.

두 번째로는 API 를 정의하기 어렵다는 것입니다. Object의 좌표를 Pointer로 계속해서

보내줘야 하는 Overhead가 존재합니다.

세 번째로는 GPU Utilization 관점에서 과연 이것이 GPU를 얼마나 효율적으로 사용하는 가에 대한

문제입니다. 컴퓨터 구조에서도 Memory Utilization을 높이기 위해 Cache를 도입하고 여러 Instruction Rule을 만들었는지를 생각해보면 위 관점은 굉장히 비효율적인 것을 알 수 있습니다.

 

 

Concatenate Primitive Transformation의 접근 방식을 동일하게 적용해보면 어떨까요?

glVertex의 좌표를 사용자가 원하는 Image를 그리는데 바로 사용하는 것이 아닙니다.

Transformation Matrix로 각 변환 성질을 Matrix에 반영하여 적용하는 것입니다.

OpenGL의 경우 Primitive Transformation 함수는 glTranslatef, glRotatef, glScalef로 구현되어 있습니다.