선형대수학 5.3

본질적으로 Matrix의 Eigenvalue와 Eigenvector를 사용하는 이유는 행렬 A의 제곱 수를 빠르게 계산하기 위함이다.

 

Ex1) 처럼 Diagnal Matrix이면 행렬 D의 제곱은 그냥 자기 자신의 diagonal value를 제곱하는 수가 된다.

 

 

Ex2) 는 Matrix A를 주고 A의 k 제곱 형식을 표현하라는 것이다. 생각보다 이것을 계산하려고 하면

굉장히 반복적이고 복잡한 작업임을 알 수 있다. 그러기 위해서 5.2 절에서 배운 Similarity를 가진

행렬 D와 P를 가지고 계산을 한다면 비교적 쉽게 계산을 할 수 있다.

 

우선 행렬 P의 역행렬을 구하고

 

 

위와 같은 성질을 이용한다면 마지막 계산 부분을 제외하고 Identity Matrix를 계속 만들고 쉽게 소거할 수 있다.
Square Matrix를 diagonalizable 이라고 표현한다.

 

 

nxn Matrix가 Diagonalizable 하다면 행렬 A는 선형 독립인 n 개의 eigenvector를 가진다.

 

 

 

 

각각의 EigenValue 에 해당하는 Basis를 찾기 위해서는 free variable에 대한 vector form으로 표현을 하면 구할 수 있다.  -> 5.2 절의 Basis 구하는 Exercise 있음.

 

 

1) Det ( A - T I ) = 0 이 되어야 한다고 표현하면 n 차 방정식으로 표현이 가능하다.

2) 각각의 Eigenvector에 대한 Basis를 표현한다.

3) Eigenspace를 구성하는 basis로 P를 표현하고 Eigenvalue로 D(Similiarity)를 표현한다.

 

 

서로 다른 Eigenvalue를 가진다면 diagonalizable 하다고 표현할 수 있다.

 

 

Eigenvalue가 서로 모두 distinct하지 않다면?? 어떻게 되는 것일까????

무슨 의미를 갖는 것인지 이해가 잘 안돼지만 생각을 해보자...

 

 

a번은 eigenvalue의 mulitplicity보다 작거나 같은 eigenspace를 가질 수 밖에 없다는 정리

b번은 각각의 eigenspace의 합이 n과 동일할 경우 행렬 A는 diagonlizable하다는 것이고 

        이 경우는 characteristic polynomial factor가 완전히 linear factor로 변형될 때 즉

        일차식의 곱으로 인수분해되는 경우에 성립할 수 있다는 것이며, 각각 eigenvalue의

        k제곱이 eigenspace의 차원과 동일한 경우에 성립할 수 있다는 것이다.

c번은 행렬 A가 diagonalizable하고 B가 eigenspace의 basis라면 B1, ,,, Bn 의 집합은 Rn 차원의

        eigenvector basis가 된다는 것이다.