선형대수학 5.5

5.5 절에서 배울 것

복소수가 포함되어 있는 eigenvalue는 특정 행렬의 숨겨져 있는 정보를 갖고 있는 경우가 있는데 

실제 삶에 직면하고 있는 문제점들과 연관이 깊다.

해당 복소수 eigenvalue를 complex eigenvalue , complex eigenvector라고 부른다.

 

 

 

A 행렬의 경우 반시계 방향으로 회전하는 Transformation을 나타낸다.

이는 4번의 회전 이후 자기 자신이 시작했던 곳으로 돌아오게 되는 벡터이다.

행렬 A는 이차원 공간의 eigenvecotr가 존재하지 않고 실수의 eigenvalue가 존재하지 않는다.

 

 

즉, 행렬 A는 복소수 2차원 공간에 존재한다고 Permit 할 수 있고, 위와 같이 eigenvector를 표현할 수 있다.

 

 

 

행렬 A의 Eigenvalue를 찾고 이것의 basis를 정의하는 문제를 풀어보자.

 

역함수가 존재하지 않기 위해서  det(A-VI)가 0이 되도록 하는 eigenvalue를 찾기 위해서 방정식을 만족하는 변수를 찾는다.

 

하지만 복소수가 포함되어 있는 식의 Row Reduced 된 행렬을 찾고 이를 만족하는 관계를 찾기에는 너무 불편하고 unpleasant하다.

 

(2)번의 두 방정식은 nontrivial solution을 가지기 때문에 두 방정식은 동일한 변수의 관계를 나타내고 있는 것이다.

 

그러므로 표현하기 쉬운 방정식 하나를 골라 그 둘의 관계를 parameter vector form으로 표현하면 eigenvector를 표현할 수 있다.

 

 

복소수에 의해 회전되고 있는 모양을 관찰한다면 아래의 모양과 같은 점들의 집합으로 표현될 수 있다.

 

 

복소수 행렬 변환

 

복소수 벡터 x는 Real 부분과 Imaginary 부분으로 이루어져 있다.

(실수와 허수로 잘 알려져 있음)

 

행렬 A의 eigenvalue와 eigenvector를 일단 구한다.

Eigenvector를 P 즉 실수부분과 허수부분으로 표현할 수 있다.

C 행렬을 P의 역함수 , 행렬 A, 행렬 P에 의해서 변환되는 행렬이라고 표현할 수 있다.

 

 

Eigenvector와 Eigenvalue를 구할 수 있으면 행렬 변환 A를 표현할 수 있다.