선형대수학 5.4

이 형식의 선형 계산에 대해서 알아보는 단원이다.

 

 

V = n차원 공간 W = m차원 공간

T = Linear Transformation V -> W

B = V의 basis, C = W의 basis

V의 coordinate vector 는 n차원 공간에 존재하며 

W의 coordinate vecto 는 m차원 공간에 존재한다.

 

 

V 공간은 n dimensional vector space이고 이것의 basis은 n 차원을 이루는 집합이 되기 때문에 x는 basis의 Combination으로 표현할 수 있다. 그러므로 이것의 Coodinate vector는 basis의 상수배로 이루어진 집합으로 표현할 수 있다. 그리고 T에 의해 Transformation 된 W 상의 공간도 이와 마찬가지고 표현을 하면 (1)과 같은 식을 얻을 수 있다.

 

 

동일하게 Coordinate Mapping을 하면 (2)와 같은 식을 얻을 수 있다.

 

 

각각의 공간의 Coordinate간의 관계를 이어주는 행렬 M을 이처럼 부른다.

"Matrix for T relative to the bases B and C"

 

 

그림으로 표현된 관계

 

B에서 C로 갈 수 있는 행렬 M을 찾는 문제

 

 

 

 

Linear Transformation 이 이루어지는 공간이 자기 자신으로 변형 되는 것이라면 (2)와 같은 식이 성립한다.

 

 

 

주어진 식을 바탕으로 각각의 basis의 Image 를 구한다.

 

Basis의 각각 Image를 구했으면 B coordinate들을 구한다. 3차원 공간의 벡터이므로 위처럼 표현된다.

 

 

 

만약 D가 nxn diagonal 행렬인 경우 n 차원의 basis B가 P의 column으로부터 형성되었다면 D 행렬은 Linear Transformation을 매개하는 행렬이라는 뜻

 

 

x에서 Linear Transformation 하게 되는 행렬 A와

coordinate vector 간의 Linear Transforamtion 하게 되는 행렬 C와의 관계를 나타낸다.